Функции от матриц

Определение. Многочленом от квадратной матрицы А назовем следующий многочлен:

P(A)=a_mA^m+...+a₁A+a₀E     (6.1)

Утверждение. Если матрица А блочно-диагональная, то многочлен P(A) также имеет блочно-диагональный вид:

     (6.2)

Утверждение. Если матрица А имеет форму жордановой клетки, то многочлен от матрицы А будет выглядеть следующим образом:

     (6.3)

Утверждение. Если A=HJH^-1 (т.е. матрицы подобны, например, J - жорданова форма матрицы А), то:

     (6.4)

Алгоритм нахождения многочлена от матрицы

1. Привести исходную матрицу А к жордановой форме, т.е. найти матрицы J и H:

   J=H^-1AH     (6.5).
   
   

2. Записать многочлен от матрицы P(J).
   
   
3. Вернуться к старому базису (т.е. сделать обратное преобразование) по формуле (6.4).

Алгоритм нахождения функции от матрицы

1. Привести исходную матрицу А к жордановой форме, т.е. найти матрицы J и H.
   
   
2. Составить матрицу

   f(J)=diag(f(J¹),...,f(J^m))     (6.6).
   
   

   Где:
   
        (6.7).
   
   

3. Сделать обратное преобразование
   
   

        (6.8).

Пример

Найдем exp(A), если:

Матрица А имеет два различных собственных значения (они находятся из уравнения (1.5)): l₁=1 и l₂=0.

Используя (3.1) и (3.2), находим жорданову форму для матрицы A:

Следующий шаг: с помощью системы (4.6) строим матрицу перехода к жорданову базису:

Затем составляем e^Jпо формуле (6.7):

После этого выполняем обратное преобразование (6.8):

"Жордановы матрицы". Электронный учебник. Автор: Косенков Игорь.
Все замечания и предложения отправляйте на webmaster@fckhimki.ru
© 2002-2003