Жорданов базис

Пусть матрица А приведена к жордановой форме J. Рассмотрим систему HJ=AH, где

H=(h_ij)     (4.1)

- матрица перехода от исходного базиса (e) к жорданову базису (h). Это система матричных n² уравнений с n² неизвестными.

Определение. Пусть e – собственный вектор преобразования А, т.е. имеет место равенство А(e) = le. Вектор e1, удовлетворяющий равенству

А(e₁) = le₁+e,     (4.2)

называется присоединенным вектором первого порядка;

вектор e₂, удовлетворяющий равенству

А(e₂) = le₂+e₁,     (4.3)

- присоединенным вектором второго порядка;

. . .

вектор e_n, удовлетворяющий равенству

А(e_n) = le_n+e_n-1,     (4.4)

- присоединенным вектором n-ого порядка.

Заметим также, что

(А-lе)^ke_k=e.     (4.5)

Алгоритм нахождения векторов жорданова базиса

Чтобы найти жорданов базис, необходимо проделать следующие действия для каждой жордановой клетки.

Рассмотрим жорданову клетку порядка k, отвечающую собственному значению l. Для нее ищутся вектора жорданова базиса:

h, h¹, h², ...,h^k-1, где:

h - собственный вектор, отвечающий собственному значению l;

h¹ - присоединенный вектор 1-ого порядка;

h² - присоединенный вектор 2-ого порядка;

. . .

h^k-1 - присоединенный вектор (k-1)-ого порядка;


Эта совокупность векторов ищется, используя следующую систему:

     (4.6)

В результате применения этих операций ко всем жордановым клеткам, получим векторы, составляющие жорданов базис:

h, h¹, h², ...,h^k-1, f, f¹, f², ...,f^p-1,...

Векторам h соответствует жорданова клетка размера k, векторам f – размера p и т.д.
ex3

Пример

Вернемся к примеру, рассмотренному в прошлом разделе. Там нами были получены две жордановы клетки:

J₁(0)=(0) и

Рассмотрим первую, J₁(0).

С помощью соотношения (1.5) из первого параграфа найдем собственный вектор, отвечающий собственному значению l₁=0:

Присоединенных векторов для данной жордановой клетки, очевидно, нет.

Теперь рассмотрим вторую жорданову клетку, J₂(-1). Очевидно, что для нее надо найти один собственный вектор и один присоединенный.

Используя систему (4.6), получим эти векторы:

- собственный вектор, отвечающий l₂=-1;

- присоединенный вектор.

Мы получили все векторы, составляющие матрицу Н. Таким образом, матрица перехода к жорданову базису будет иметь следующий вид:

"Жордановы матрицы". Электронный учебник. Автор: Косенков Игорь.
Все замечания и предложения отправляйте на webmaster@fckhimki.ru
© 2002-2003