Маленькие задачи древности
Предыдущий раздел
До сих пор геометрические задачи исследовались при помощи алгебраических методов. Полезно рассмотреть задачи обратного содержания. Некоторые из них уже описаны выше: построение всех рациональных арифметических операций; построение операции извлечения квадратного корня. Рассмотрим еще 2 небольших задачки из теории числовых последовательностей (их решения были известны древним грекам). В теории числовых последовательностей встречаются два частных случая: геометрическая прогрессия и арифметическая прогрессия. Их суммы можно построить графически, придав им геометрический смысл.
Геометрическая прогрессия
Убывающей геометрической прогрессией (далее просто г.п.) называется последовательность чисел a1, …, an, … , в которой an=q*an-1 (n=2, 3, …) и |q|<1. Конечная сумма 1-х n членов геометрической прогрессии находится по формуле: Sn=a1*(1-qn)/(1-q). Бесконечная сумма г.п. находится по формуле S¥=a1/(1-q). Г.п. может быть задана своими первыми двумя членами a1 и a2.
Графическое решение состоит в нахождении по отрезкам с длинами a1 и a2 отрезков, соответствующих суммам Sn и предельной сумме S¥. Из формул для расчета Sn и S¥ следует, что эти величины могут быть построены циркулем и линейкой. Тем не менее проведем построение полностью:
1. Отложим отрезок A1B1 длинны a1.
2. Проведем 2 пересекающихся линии через концы A1B1, точку их пересечения обозначим буквой O.
3. На A1B1 отложим отрезок MB1 ,длины a2.
4. Если надо найти S¥, то перейти к пункту 7.
Через т. M проводим прямую параллельную отрезку OB1. Точку пересечения этой прямой с прямой OB1 обозначим буквой A2. Через точку A2 проводим прямую, параллельную отрезку A1B1, а точку пересечения этой прямой с прямой OB1 обозначим B2.
5. Через точку B2 проведем прямую, параллельную отрезку A2B1. Точку пересечения этой прямой с прямой OA1 обозначим буквой A3.
6. Повторять шаги 5 и 6 для соответствующих точек n-3 раз, если нужно получить сумму Sn.
7. Если надо найти S¥, то через точку O проводим прямую, параллельную отрезку A2B1 и отмечаем ее точку С пересечения с прямой A1B1.
Если ищем Sn, то проводим прямую AnBn-1 и отмечаем ее точку Сn пересечения с прямой A1B1. Искомым отрезком будет A1Сn=Sn или A1С=S¥.
Построение указано на рисунке:
Обоснование метода элементарное и проводится с помощью свойств подобных треугольников.
Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией (далее просто а.п.) называется последовательность чисел
a1, …, an, … , в которой an=r+an-1 (n=2, 3, …). Конечная сумма 1-х n членов арифметической прогрессии находится по формуле: Sn=n*(a1+an)/2.
Графическое решение состоит в нахождении по отрезкам с
длинами a1 и
a2 отрезков,
соответствующих суммам Sn.
Из формул для расчета Sn
опять следует, что эти величины могут быть построены циркулем и линейкой.
Непосредственное построение интереса не представляет. Для запоминания же
формулы для Sn удобно
использовать следующую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим фигуру,
построенную из столбиков, которые содержат квадратики единичной длины: в 1-м
столбике a1
квадратиков, во 2-м столбике a2
квадратиков и так далее до n-го
столбика. Очевидно, что площадь построенной фигуры будет равна Sn. Присоединим сверху к этой
фигуре такую же перевернутую и получим прямоугольник с площадью S=2*Sn=n*(a1+an),
откуда Sn=n*(a1+an)/2.
Замечания
1. Некоторые задачи построения циркулем и линейкой можно строить с помощью иных механических приспособлений. Для удвоения куба было изобретено механическое приспособление, состоящее из рамки, подвижных планок и крестовины. Для трисекции угла существует метод Архимеда, который требует запоминания на линейке 2-х точек (засечек).
2. Задача Аполлония имеет не более 8 различных решений во всех случаях, за исключением 4-го, когда их бесконечно много. Существуют и другие, более компактные методы решения, использующие не R2 – плоскость, а комплексную плоскость C. Но задачей было не нахождение оптимального по количеству действий алгоритма, а факта его существования.