Задача Аполлония

Предыдущий раздел

 

Построение инверсии циркулем и линейкой

 

Данный чертеж указывает алгоритм построения инверсии:

q — центр инверсии, r — радиус инверсии, p — прообраз, I[p] — образ. Доказательство того, что |I[p]-q||p-q|=r² основывается на свойствах касательных и прямоугольных треугольников (проведи его).

 

Частный случай задачи Аполлония №1

(построение окружности, касательной к 2-м параллельным прямым и окружности).

 

Пусть даны параллельные прямые a, b и окружность S(q,r). Надо построить окружность U, касательную к ним. Построение представлено следующим алгоритмом:

 

1.                  Отмерить расстояние r между 2-мя параллельными прямыми a и b (для этого достаточно измерить расстояние между точками пересечения (A, B) прямых a, b c прямой, перпендикулярной к ним).

2.                  Провести прямую c, параллельную к a и b и равноудаленную от них (для этого надо найти середину AB и провести через нее прямую, перпендикулярно к AB).

3.                  Провести окружность g(q,r+r) и отметить точку ее пересечения Q c прямой c.

4.                  Провести решение – окружность U(Q, r/2).

 

Данный чертеж иллюстрирует алгоритм:

Частный случай задачи Аполлония №2

(построение окружности, касательной к 3-м другим, если 2 из них касаются).

 

Пусть даны окружности U₁, U₂, U₃, при этом U₁ и U₂ касаются в точке T. Надо построить окружность U, касательную к ним. Построение представлено следующим алгоритмом:

 

1.                  Зададим инверсию окружностью S(T,r). T – центр инверсии, а радиус инверсии r для простоты выберем так, чтобы S пересекла U₁ и U₂.

2.                  Инвертируем U₁, U₂, U₃, при этом U₁ и U₂ перейдут в параллельные прямые I[U₁] и I[U₂], а окружность U₃ перейдет в прямую или окружность I[U₃].

3.                  Строим окружность g, касательную к I[U₁], I[U₂], I[U₃] (см. случай 1).

4.                  Строим решение – окружность или прямую U=I[g].

 

Доказательство состоятельности этого алгоритма основано на том, что точки касания образов I[U₁], I[U₂], I[U₃] с окружностью g при инверсии перейдут в точки касания U=I[g] с прообразами U₁, U₂, U₃ (по свойству двойственности I²[U_k]=U_k).

 

Частный случай задачи Аполлония №3

(построение окружности, касательной к 3-м другим, если все они касаются).

 

Решений, очевидно, бесконечно много. Ими будут окружности параболического пучка, проходящие через точку касания и не имеющие других общих точек с заданными окружностями.

 

Общий случай задачи Аполлония

(построение окружности, касательной к 3-м другим).

 

Пусть даны окружности U₁(q₁,r₁), U₂(q₂,r₂), U₃(q₃,r₃). Надо построить окружность U(q,r), касательную к ним.

 

Рассмотрим построение для варианта, когда все 3 окружности не пересекаются (в противном случае построения аналогичные). Построение сводится к случаю 2, для чего используется т.н. метод расширения. Построение представлено следующим алгоритмом:

 

1.                  Построить прямую b, проходящую через центры q₁ и q₂. Отметить точки пересечения b c U₁ – (a₁, a₂) и с U₂ – (b₁, b₂).

2.                  Найти R=min(a₁b₁, a₁b₂, a₂b₁, a₂b₂), отметить точку T – середину R и расстояние t=|R|/2.

3.                  Построить расширенные окружности: g₁(q₁,r₁+t), g₂(q₂,r₂+t), g₃(q₃,r₃+t).

4.                  Т.к. g₁ и g₂.касаются, то строим окружность g(q,r), касающуюся g₁, g₂, g₃ (см. случай 2).

5.                  Построить решение – окружность U(q,r+t).

 

Доказательство состоятельности этого алгоритма очевидно.