Трисекция угла (деление его на 3 части) легко строится в частных случаях для Ðq=p (используется свойство прямоугольного треугольника с углами p/6 и p/3) и для углов вида p/ 2n, n=1, 2, … .
Для доказательства невозможности построения трисекции угла в общем случае достаточно показать это для какого-нибудь угла. Для простоты рассмотрим угол Ðq=p/3. Дальше понадобится утверждение, которое доказывается аналогично приведенному выше утверждению о невозможности удвоения куба (проведи его).
Если кубическое уравнение с рациональными коэффициентами не имеет рациональных корней, то ни один из его корней не может быть построен с помощью циркуля и линейки, исходя из рационального поля F0.
Пусть Ðq задан своим косинусом: g=Cos(q). Надо найти x=Cos(q/3). Известно, что Cos(q)=4* Cos 3 (q/3)-3*Cos(q/3) или 4* z 3 - 3*z - g =0. Т.к. g=1/2, то получим 8* z 3 - 6*z=1 или v 3 - 3*v=1. По теореме имеем: если v строится циркулем и линейкой, то v 3 - 3*v=1 имеет 1 рациональный корень. Пусть этот корень v=r/s Þ r 3 – 3*s 2*r = s 3 или r*( r 2– 3*s 2) = s 3 или s 2*(s+3*r) = r 3 . Всегда можно выбрать r и s так, чтобы r/s была несократимой дробью, но тогда получим, что s=±1, r=±1, а это не удовлетворяет уравнению. Т.о. величина x=Cos(q/3) не может строиться циркулем и линейкой Þ не строится и сам Ðq.