Сведение геометрической задачи к алгебраической

Всякая задача геометрического построения может быть перефразирована следующим образом: дано конечное число отрезков (a, b, c, …) требуется циркулем и линейкой построить один или несколько отрезков (x, y, z, …). Построение приводит к решению алгебраической задачи: устанавливается соотношение между a, b,c, … и x, y, z, …; затем, разрешая это соотношение (уравнение), находятся формулы для величин x, y, z, … и, наконец, выясняется, можно ли свести вычисления к алгебраическим процедурам, которые соответствуют построению циркулем и линейкой.

Рассмотрим простейшие алгебраические операции, которые допускают построение циркулем и линейкой. Пусть заданы отрезки длин a, b, c, … , длины которых даны в единичных отрезках (т.е. также задан e – единичный отрезок). Заданные a, b, c, … — вещественные величины, их соизмеримость не важна.

Рациональные операции ("+", "-", "*", "/")

1. Построение a+b, b-a — элементарно.

2. Построение r*a, где r — рациональное число:

Любое рациональное число представимо в виде: r=p/q, где p,q — целые. Построение отрезка длины p*b — сводится к отложению p раз x вдоль произвольной прямой. Поэтому надо научиться строить отрезки вида a/q. Пусть q=3, построим отрезок a/3:

Достраиваем a=OA до угла AOC. Откладываем CD=2*OC. Соединяем D с A. Через т. проводим CE//DA. OE=a/3. Аналогично строится отрезок a/q, где q — целое. Построение r*a проводится откладыванием p раз отрезка a/q.

3. Построение a/b.

Построение отрезка a/b представлено на картинке:

4. построение a*b

Построение отрезка a*b представлено на картинке:

Иррациональные операции ( "√ā")

Построение отрезка √ā представлено на картинке:

Таким образом, мы теперь умеем выполнять все рациональные операции и извлечение корня при помощи циркуля и линейки.