Инверсия – геометрическое преобразование, допускающее построение циркулем и линейкой (это будет показано в последнем разделе) и используемое при решении различных задач. Инверсия "выворачивает наизнанку" фигуры, чем и заслужило свое название.
Рассмотрим плоскую инверсию. Зафиксируем точку qÎR², которую будем называть центром инверсии. Зафиксируем число r и введем окружность инверсии S(θ,r) с центром θ и радиусом r. Введем теперь инверсию – оператор I: B®B, где B=R²/{θ}, действующий по правилу: |p-θ||Ip-θ|=r².
Инверсия обладает следующими свойствами:
1. Двойственность: p´=Ip Þ p=Ip´ или I²=E, где E – тождественный оператор.
2. Взаимная однозначность.
3. Переход внутренности S во внешность и внешности S во внутренность при неизменности границы:
"pÎ{x: |p-θ|=r} Ip=p, "pÎ{x: |p-θ|<r}/{θ} |Ip|>r, "pÎ{x: |p-θ|>r} |Ip|<r.
4. Поведение инверсии в окрестности центра θ:
"{pk}ÍB |pk-θ|®0, k®¥ • |Ipk|®¥, k®¥.
5. Действие инверсии на прямую. Любая прямая, проходящая через центр инверсии θ превратится в себя же (за исключением, конечно, точки θ):
"pÎ{x: |p-θ|=1} "k¹0 I[kp]=k´p, где k´>0.
Если прямая не проходит через центр θ, то она преобразуется в окружность.
6. Действие инверсии на окружность.
При инверсии окружности S1, если центр θÏS1, она переходит в некоторую окружность S2. Если центр θÎS1, то S1 переходит в некоторую прямую. Если при этом окружность инверсии S будет пересекать S1 (касаться S1), то прямая пройдет через эти точки пересечения (коснется S1).
7. Сохранение расстояний до центра θ. Если |p1-θ|=|p2-θ|=d, то |Ip1-θ|=|Ip2-θ|=d.