Практическая деятельность людей в древности дала много любопытных геометрических задач. Их пытались решать строго при помощи "простых" инструментов, например, циркуля и линейки. Среди этих задач встречались как решенные, так не решенные вплоть до недавнего времени.
Известной решенной в древней Греции задачей является, например, задача Аполлония Пергского (3 в. до н.э.): построить окружность, касающуюся 3-х заданных окружностей. Известно из нескольких источников, что Аполлоний построил решение циркулем и линейкой (без делений), но как он это сделал не ясно.
Также существует три классические задачи древности, решение которых довольно долго не могли найти различные исследователи. Предлагалось с помощью циркуля и линейки (без делений) дать решение следующих задач: разделить на три равные части данный произвольный угол (трисекция угла), удвоить данный куб (т.е. построить сторону куба, об"ем которого в два раза больше, чем у данного куба) и выполнить квадратуру круга (т.е. построить квадрат, имеющий такую же площадь, как и данный круг). Первое упоминание о построении квадратуры круга встречено в 5 в. до н.э. в древней Греции. Древнегреческий математик Антион считал, что приближаясь к кругу вписанными многоугольниками, можно квадрировать заданный круг. Однако Аристотель заметил, что это будет неточное решение (но точное в пределе). Занимался этим и Гиппократ. Он доказал возможность построения некоторых криволинейных фигур (лунок) при помощи циркуля и линейки. Но несмотря на старания многочисленных энтузиастов, сварганить из этих лунок круг так никому и не удалось. Задача об удвоении куба (Делосская задача) возникла по легенде из задачи об удвоении жертвенника кубической формы на о. Делосс, которое якобы спасет местных жителей от стихийных бедствий.
На протяжении многих веков делались попытки решить эти задачи простыми (геометрическими) рассуждениями, но результатов не было. Это об”ясняется тем, что данные задачи требовали таких разделов математики, которых не было до 19 в..
Длительное отсутствие результатов дало подозрение о том, что решения может и не существовать. А это породило новую задачу — доказать невозможность решения этих задач.
В области алгебры тот же вопрос возник в связи с проблемой решения уравнений 5-й и более высоких степеней. Было установлено, что уравнения 3-й и 4-й степеней решаются в радикалах по той же схеме, что и квадратные. Но для 5-й степени и выше общего алгоритма не нашли. В начале 19 столетия Руффини и Абель поставили задачу — доказать невозможность решения в радикалах общего алгебраического уравнения степени n. Доказательство было дано Гауссом в его докторской диссертации в 1799 г.
Оказалось, что с помощью вышеуказанного направления в алгебре можно доказать невозможность решения задач древности (для доказательства невозможности построения квадратуры круга необходимо дополнительно доказать трансцендентность числа p).
Несмотря на то, что сегодня уже доказана невозможность решения циркулем и линейкой всех трех задач древности, до сих пор существуют вереницы разнообразных “триссекторов”, “квадратурщиков”, не желающих признавать доказательства невозможности. Принцип доказательства изложенный ниже взят из книги Куранта и Робинса, рассчитанной на учеников 8 –11 классов.
В данном тексте сперва даются определения для строгой постановки исследуемых задач. Потом вводится метод сведения задачи построения к алгебраической задаче и некоторые факты из числовой теории, которые потребуется для доказательства невозможности построений. Далее рассказывается о методе инверсии, применяемом для решения задачи Аполлония. После изложения данной теории, даются компактные доказательства невозможности построения трисекции угла, удвоения данного куба, квадратуры круга и решается задача Аполлония. На этом рассмотрение наиболее ценных древних задач заканчивается, но для полноты демонстрируются еще пара маленьких задачек.