Числовые поля и построения

Предыдущий раздел

 

Пусть задано множество чисел, на котором введены рациональные операции — сложение, вычитание, умножение, деление. Если это множество замкнуто по отношению к этим операциям, то оно является числовым полем. Можно показать, что множество рациональных чисел Q образует поле и можно показать, что любое числовое поле содержит в себе Q, т.е. Q — минимальное числовое поле.

           

Пусть заданы величины a, b, c, … . С помощью циркуля и линейки можно построить из них числовое поле. Но с помощью циркуля можно выбраться из этого поля построив число вида √ā. Для простоты, в дальнейшем будем считать, что в задачах построения задан единственный отрезок, который можно принять за единицу. Тогда циркулем и линейкой можно построить поле рациональных чисел F₀=Q. Построив число вида √āÏQ мы выходим из Q. Построим множество чисел F₁={x+y*√ā, x,yÎQ}. F₁ ­ — числовое поле: F₀ÍF₁. Действительно:

x+y*√ā±(v+w*√ā)=(x±v)+(y±w)*√ā,

(x+y*√ā)*(v+w*√ā)=(x*v+a*y*w)+(x*w-y*v)*√ā,

(x+y*√ā)/(v+w*√ā)=(x*v-a*y*w)/(v² – a*w²)+√ā*(y*v-x*w)/(v² – a*w²).

Знаменатель v² – a*w² не может равняться 0 т.к. тогда √ā=v/wÎQ.

 

Пусть построено поле F, выбрав число √āÏF мы можем аналогично построить поле F'={x+y*√ā, x,yÎF}. Можно показать, что линейка не выводит за пределы данного поля, а циркуль выводит.

 

Пусть даны a, b, c, dÎF, тогда:

 

1.            уравнение прямой, проходящей через точки (a, b) и (c, d) имеет коэффициенты из того же поля F

2.         точка пересечения 2-х прямых с коэффициентами из поля F имеет координаты из того же поля.

3.         число √ā в общем случае ÏF.

4.            однократное применение циркуля дает числа только вида c+d*√ā, c,dÎF.

Обозначим начальное поле задачи через F₀. Выбирая некоторый элемент a ÎF₀ и извлекая из него корень, мы строим поле F₁ и т.д.: F₀ÍF₁Í…ÍF_nÍ… . Отсюда следует, что можно строить числа, принадлежащие таким полям с помощью циркуля и линейки.

Числа, допускающие построение

 

Уже определен класс чисел, которые мы умеем строить. Теперь осталось рассмотреть класс чисел, которые мы не умеем строить.

 

Алгебраическим числом называется такое число x, которое удовлетворяет уравнению вида: a_n*xⁿ+…+a₀=0, где a_n¹0, n³1, a_jÎZ, j=0, …, n. Очевидно, что можно взять и a_jÎQ.

 

Утверждение

Пусть F₀=Q, xÎF_k Þ x удовлетворяет уравнению степени 2^l с коэффициентами из поля

F_k-l, k³l>0.

 

При l=k получим, что x — алгебраическое число, откуда вытекает необходимый признак допустимости построения числа: если число строится циркулем и линейкой, то оно — алгебраическое. Числа, которые мы не умеем строить — не алгебраические или трансцендентные числа.