Пусть задан куб с единичным ребром. Надо построить куб с ребром x, об"ем которого в 2 раза больше, чем у исходного: x3=2. Докажем, что циркулем и линейкой невозможно построить такое x.
Пусть это возможно, тогда xÎFk, где Fk — минимальное поле, содержащее x.
Известно, что xÏF0=Q т.к. x — иррациональное число. Т.е. k>0. Тогда x=p+q*√ū, где
p,q,uÎFk-1, √ūÏFk-1. Т.к. xÎFk, то x3-2=a+b*√ū, a,bÎFk-1. Т.к. (p+q*√ū)3=p3+3*p*q*√ū+3*p*q2u+q3*√ū*u, то a=p3+3*p*q2u-2, b=3*p*q+3*p*q2u+q3*u.
Теперь покажем, что если x=p+q*√ū — решение x3=2, то и y=p-q*√ū — решение y3=2.
Из x3-2=0 Þ a+b*√ū=0 Þ a,b=0, т.к. иначе было бы √ū=-a/bÎFk-1, что противоречит минимальности Fk. Т.к. y3-2=a-b*√ū=0 Þ y — решение исходного уравнения. Покажем, что x¹y. Пусть x=y Þ x-y=2*q*√ū=0 Þ q=0, x=pÎFk-1, что противоречит минимальности Fk. Т.о. x¹y. Уравнение x3=2 имеет два мнимых корня и только один действительный, а мы получили, что оно имеет два действительных корня Þ противоречие.
Сторона искомого куба x не принадлежит ни к какому полю Fk, следовательно, не строится циркулем и линейкой.